Question

6．設a∈R，已知函數f（x）=ax³-3x²．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）設g（x）=f（x）+f′（x），若?x∈[1，3]，有g（x）≤0，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；
（2）題目轉化為a≤$\frac{{3x}^{2}+6x}{{x}^{3}+{3x}^{2}}$=$\frac{3x+6}{{x}^{2}+3x}$對x∈[1，3]恒成立．構造函數利用導數求解函數的最小值，即可得到實數a的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²-6x，
a=0時，f′（x）=-6x，f′（x）＞0，得x＜0，f′（x）＜0，得x＞0；
a＞0時，f′（x）＞0，得x＞$\frac{2}{a}$或x＜0，f′（x）＜0，得0＜x＜$\frac{2}{a}$；
a＜0時，f′（x）＞0，得$\frac{2}{a}$＜x＜0，f′（x）＜0，得x＜$\frac{2}{a}$或x＞0；
綜上所述：a=0時，f（x）的單調遞增區間為（-∞，0），單調遞減區間為（0，+∞）；
a＞0時，f（x）的單調遞增區間為（-∞，0），（$\frac{2}{a}$，+∞），單調遞減區間為（0，$\frac{2}{a}$）；
a＜0時，f（x）的單調遞增區間為（$\frac{2}{a}$，0），單調遞減區間為（-∞，$\frac{2}{a}$），（0，+∞）．
（2）依題意，?x∈[1，3]，ax³-3x²+3ax²-6x≤0，
等價于不等式a≤$\frac{{3x}^{2}+6x}{{x}^{3}+{3x}^{2}}$=$\frac{3x+6}{{x}^{2}+3x}$在x∈[1，3]有解，
令h（x）=$\frac{3x+6}{{x}^{2}+3x}$，（x∈[1，3]），則h′（x）=-$\frac{3{[（x+2）}^{2}+2]}{{{（x}^{2}+3x）}^{2}}$＜0，
所以h（x）在區間[1，3]上是減函數，所以h（x）的最大值為h（1）=$\frac{9}{4}$，
所以a≤$\frac{9}{4}$，即實數a的取值范圍為（-∞，$\frac{9}{4}$]．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．