Question

10．已知數列{a_n}的通項公式為a_n=-n+t，數列{b_n}的通項公式為b_n=3^n-3，設c_n=$\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{2}$+$\frac{|{a}_{n}-{b}_{n}|}{2}$，在數列{c_n}中，c_n≥c₃（n∈N*），則實數t的取值范圍是$\frac{10}{3}$＜t＜5．

Answer 1

分析 求出c₃是c_n中的最小值，再分類討論，即可求出實數t的取值范圍．

解答 解：c_n=$\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{2}$+$\frac{|{a}_{n}-{b}_{n}|}{2}$=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，{a}_{n}≥{b}_{n}}\\{{b}_{n}，{a}_{n}＜{b}_{n}}\end{array}\right.$．
∵a_n=-n+t隨著n變大而變小，
b_n=3^n-3隨著n變大而變大，
∵c_n≥c₃（n∈N*），
∴c₃是c_n中的最小值．
則n=1，2，3時，c_n遞增，n=3，4，5，…時，c_n遞減，
因此，n=1，2時，3^n-3＜-n+t總成立，
當n=2時，$\frac{1}{3}$＜-2+t，∴t＞$\frac{7}{3}$，
n=4，5，…時，3^n-3＞-n+t總成立，
當n=4時，3＞-4+t，成立，∴t＜7，
而c₃=a₃或c₃=b₃，
若a₃≤b₃，即1≥-3+t，所以t≤4，
則c₃=a₃=-3+t，
∴-3+t＞$\frac{1}{3}$，∴t＞$\frac{10}{3}$，
故$\frac{10}{3}$＜t≤4，
若a₃＞b₃，即t＞4，
∴c₃=b₃=1，
那么c₃＞c₄=a₄，即1＞-4+t，
∴t＜5，
故4＜t＜5，
綜上，$\frac{10}{3}$＜t＜5．
故答案為$\frac{10}{3}$＜t＜5．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的單調性，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．