Question

20．設圓C的圓心在x軸上，并且過A（-1，1），B（1，3）兩點
（Ⅰ）求圓C的方程
（Ⅱ）設直線y=-x+m與圓C交于M，N兩點，那么以MN為直徑的圓能否經過原點，若能，請求出直線MN的方程；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據題意，設圓心坐標為C（a，0），半徑為r，可得其標準方程為：（x-a）²+y²=r²，結合題意可得（x+1）²+1=r²①，（x-1）²+9=r²②，解可得a、r的值，代入標準方程即可得答案；
（Ⅱ）根據題意，設出M、N的坐標，聯立直線與圓的方程，可得x₁+x₂=m+2，x₁•x₂=$\frac{{m}^{2}-6}{2}$，可得MN中點H的坐標，進而假設以MN為直徑的圓經過原點，則有|OH|=$\frac{1}{2}$|MN|，結合直線與圓的位置關系分析可得（$\frac{m+2}{2}$）²+（$\frac{m-2}{2}$）²=10-$\frac{（m-2）^{2}}{2}$，解可得m的值，檢驗可得其符合題意，將m的值代入直線方程，即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根據題意，設圓心坐標為C（a，0），半徑為r，
則其標準方程為：（x-a）²+y²=r²，
由于點A（-1，1）和B（1，3）在圓C上，則有（x+1）²+1=r²①，
（x-1）²+9=r²②，
解可得a=2，r²=10，
故圓的標準方程為：（x-2）²+y²=10；
（Ⅱ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是直線y=-x+m與圓C的交點，
聯立y=-x+m與（x-2）²+y²=10可得：2x²-（4+2m）x+m²-6=0，
則有x₁+x₂=m+2，x₁•x₂=$\frac{{m}^{2}-6}{2}$，
則MN中點H的坐標為（$\frac{m+2}{2}$，$\frac{m-2}{2}$），
假設以MN為直徑的圓經過原點，則有|OH|=$\frac{1}{2}$|MN|，
圓心C到MN的距離d=$\frac{|m-2|}{\sqrt{2}}$，
則有|MN|=2$\sqrt{{r}^{2}-p9vv5xb5^{2}}$=2$\sqrt{10-\frac{（m-2）^{2}}{2}}$，
又由|OH|=$\frac{1}{2}$|MN|，
則有（$\frac{m+2}{2}$）²+（$\frac{m-2}{2}$）²=10-$\frac{（m-2）^{2}}{2}$，
解可得m=1±$\sqrt{7}$，
經檢驗，m=1±$\sqrt{7}$時，直線與圓相交，符合題意；
故直線MN的方程為：y=-x+1+$\sqrt{7}$或y=-x+1-$\sqrt{7}$．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，涉及直線與圓的方程的綜合應用，關鍵是正確求出圓的方程．