Question

已知f（x）=

2

（sinxcosx+cos²x-

1

2

），x∈[0，π]，當方程f（x）=a有兩個不相等的實根x₁，x₂時：
（1）當a的取值范圍；
（2）求x₁+x₂的值．

Answer 1

考點：二倍角的余弦

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）由二倍角的正弦、余弦公式，兩角和的正弦公式化簡解析式，由x得范圍求出2x+

π

4

的范圍，根據正弦函數的圖象求出a的取值范圍；
（2）根據圖象可得（2x1+

π

4

）+（2x2+

π

4

）=π，化簡求出x₁+x₂的值．

解答： 解：（1）由題意得，f（x）=

2

（sinxcosx+cos²x-

1

2

）
=

2

（

1

2

sin2x+

1+cos2x

2

-

1

2

）=

2

（

1

2

sin2x+

1

2

cos2x）
=sin(2x+

π

4

)，
由x∈[0，π]得，2x+

π

4

∈[

π

4

，2π+

π

4

]，
因為方程f（x）=a有兩個不相等的實根x₁，x₂，
所以由正弦函數的圖象可得，

2

2

＜a＜1，
則a的取值范圍是（

2

2

，1）；
（2）由圖可得，（2x1+

π

4

）+（2x2+

π

4

）=π，
解得x₁+x₂=

π

4

．

點評：本題考查二倍角的正弦、余弦公式，兩角和的正弦公式，方程的根轉化為函數圖象的交點問題，以及正弦函數的圖象與性質，考查數形結合思想．