Question

設函數f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是奇函數．
（1）求常數k的值；
（2）若a＞1，試判斷函數f（x）的單調性，并加以證明；
（3）若已知f（1）=

8

3

，且函數g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在區間[1，+∞）上的最小值為-2，求實數m的值．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數單調性的判斷與證明

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）根據函數的奇偶性的性質，建立方程即可求常數k的值；
（2）當a＞1時，f（x）在R上遞增．運用單調性的定義證明，注意作差、變形和定符號、下結論幾個步驟；
（3）根據f（1）=

8

3

，求出a，然后利用函數的最小值建立方程求解m．

解答： 解：（1）∵f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是奇函數．
∴f（0）=0，即k-1=0，解得k=1．
（2）∵f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），
當a＞1時，f（x）在R上遞增．
理由如下：設m＜n，則f（m）-f（n）=a^m-a^-m-（aⁿ-a^-n）
=（a^m-aⁿ）+（a^-n-a^-m）=（a^m-aⁿ）（1+

1

aman

），
由于m＜n，則0＜a^m＜aⁿ，即a^m-aⁿ＜0，
f（m）-f（n）＜0，即f（m）＜f（n），
則當a＞1時，f（x）在R上遞增．
（3）∵f（1）=

8

3

，∴a-

1

a

=

8

3

，
即3a²-8a-3=0，
解得a=3或a=-

1

3

（舍去）．
∴g（x）=3^2x+3^-2x-2m（3^x-3^-x）=（3^x-3^-x）²-2m（3^x-3^-x）+2，
令t=3^x-3^-x，
∵x≥1，
∴t≥f（1）=

8

3

，
∴（3^x-3^-x）²-2m（3^x-3^-x）+2=（t-m）²+2-m²，
當m≥

8

3

時，2-m²=-2，解得m=2，不成立舍去．
當m＜

8

3

時，（

8

3

）²-2m×

8

3

+2=-2，
解得m=

25

12

，滿足條件，
∴m=

25

12

．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用，以及指數函數的性質和運算，考查學生的運算能力，綜合性較強．