Question

1．如圖，已知四邊形ABCD和ABEG均為平行四邊形，點E在平面ABCD內的射影恰好為點A，以BD為直徑的圓經過點A，C，AG的中點為F，CD的中點為P，且AD=AB=AE
（Ⅰ）求證：平面EFP⊥平面BCE
（Ⅱ）求二面角P-EF-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出AE⊥平面ABCD，從而平面ABCD⊥平面ABEG，從而EF⊥BC，再求出EF⊥BE，從而EF⊥平面BCE，由此能證明平面EFP⊥平面BCE．
（Ⅱ）以A 為原點，AD為x軸，AB為y軸，AE為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角P-EF-B的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵點E在平面ABCD內的射影恰好為A，
∴AE⊥平面ABCD，
又AE?平面ABEG，
∴平面ABCD⊥平面ABEG，
又以BD為直徑的圓經過點A，C，AD=AB，
∴ABCD為正方形，
又平面ABCD∩平面ABEG=AB，∴BC⊥平面ABEG，
∵EF?平面ABEG，∴EF⊥BC，
又AB=AE=GE，∴∠ABE=∠AEB=$\frac{π}{4}$，
又AG的中點為F，∴$∠AEF=\frac{π}{4}$，
∵$∠AEF+∠AEB=\frac{π}{2}$，∴EF⊥BE，
又BE?平面BCE，BC?平面BCE，BC∩BE=B，
∴EF⊥平面BCE，
又EF?平面EFP，
∴平面EFP⊥平面BCE．
解：（Ⅱ）如圖，以A 為原點，AD為x軸，AB為y軸，AE為z軸，建立空間直角坐標系，
設AB=2，則A（0，0，0），E（0，0，2），P（2，1，0），G（0，-2，2），
∵AG的中點為F，∴F（0，-1，-1），
故$\overrightarrow{PE}$=（-2，-1，2），$\overrightarrow{PF}$=（-2，-2，1），
設平面EFP的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=-2x-y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PF}=-2x-2y+z=0}\end{array}\right.$，令x=3，得$\overrightarrow{n}$=（3，-2，2），
由題意平面ABEG的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
設二面角P-EF-B的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{17}}=\frac{3\sqrt{17}}{17}$．
∴二面角P-EF-B的余弦值為$\frac{3\sqrt{17}}{17}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．