Question

16．已知定義在R上的函數f（x）滿足f（4+x）=f（x），且x∈（-2，2]時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（|x+\frac{1}{x}|-|x-\frac{1}{x}|），0＜x≤2}\\{-（{x}^{2}+2x），-2＜x≤0}\end{array}\right.$則函數g（x）=f（x）-|log₄|x||的零點個數是（　�。�

• A． 4
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 求出函數f（x）的周期，畫出函數的圖象，函數g（x）=f（x）-|log₄|x||的零點個數，轉化為：y=f（x）的圖象與y=|log₄|x||圖象交點個數．

解答 解：定義在R上的函數f（x）滿足f（4+x）=f（x），函數的周期為4，
且x∈（-2，2]時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（|x+\frac{1}{x}|-|x-\frac{1}{x}|），0＜x≤2}\\{-（{x}^{2}+2x），-2＜x≤0}\end{array}\right.$，
函數g（x）=f（x）-|log₄|x||的零點個數，就是：y=f（x）的圖象與y=|log₄|x||圖象交點個數．
畫出函數的圖象如圖，y=f（x）∈[0，1]，y=|log₄|x||是偶函數，當x=4時y=1，|x|＞4與y=f（x）
的圖象沒有交點，由函數的圖象可知兩個函數的交點個數為9個．（圖象中紅點）．
故選：D．

點評 本題考查函數的零點個數的判斷，考查數形結合以及分析問題解決問題的能力．