Question

5．已知命題p：?m∈[-1，1]，不等式a²-5a+7≥m+2恒成立；命題q：x²+ax=2=0有兩個不同的實數根，若p∨q為真，且p∧q為假，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出當p真、q真時，a的取值范圍，由p、q一真一假列式計算即可，

解答 解：命題p真：?m∈[-1，1]，不等式a²-5a+7≥m+2恒成立⇒a²-5a+7≥（m+2）_max=3⇒a≤1或a≥4；
命題q真：x²+ax=2=0有兩個不同的實數根⇒△=a²-8＞0⇒a＜-$2\sqrt{2}$或a$＞2\sqrt{2}$；
若p∨q為真，且p∧q為假，則p、q一真一假，
當p真q假時，$\left\{\begin{array}{l}{a≤1或a≥4}\\{-2\sqrt{2}≤a≤2\sqrt{2}}\end{array}\right.$⇒-2$\sqrt{2}$≤a≤1
當p假q真時，$\left\{\begin{array}{l}{1＜a＜4}\\{a＜-2\sqrt{2}或a＞2\sqrt{2}}\end{array}\right.$⇒2$\sqrt{2}$＜a＜4
∴實數a的取值范圍為：⇒-2$\sqrt{2}$≤a≤1或2$\sqrt{2}$＜a＜4．

點評 本題考查了復合命題的真假的應用，屬于基礎題．