Question

17．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1和圓C₂：x²+y²=4，A，B，F分別為橢圓C₁左頂點、右頂點和左焦點．
（1）點P是曲線C₂上位于第一象限的一點，若△OPF的面積為$\frac{3}{2}$，求∠OPB；
（2）點M和N分別是橢圓C₁和圓C₂上位于x軸上方的動點，且直線AN的斜率是直線AM斜率的2倍，證明直線MN⊥x軸．

Answer 1

分析 （1）由已知橢圓方程求出F的坐標，設出P的坐標，再由三角形面積求出P的坐標，可得△BOP為等邊三角形，則答案可求；
（2）設直線AM的斜率為k，則直線AN的斜率為2k，又兩直線都過點A（-1，0），可得直線AM的方程為y=kx+k，直線AN的方程為y=2kx+2k，分別聯立直線方程與橢圓、圓的方程，求出M、N的橫坐標得答案．

解答 （1）解：由橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，得F（-$\sqrt{3}$，0），
設P（x_P，y_P）（x_P＞0，y_P＞0），
∵${S}_{△OPF}=\frac{1}{2}×\sqrt{3}{y}_{P}=\frac{3}{2}$，∴${y}_{P}=\sqrt{3}$，
則${{x}_{P}}^{2}=4-（{y}_{P}）^{2}=4-3=1$，∴x_P=1．
則∠BOP=60°，∴△BOP為等邊三角形，則∠OPB=60°；
（2）證明：設直線AM的斜率為k，則直線AN的斜率為2k，又兩直線都過點A（-1，0），
∴直線AM的方程為y=kx+k，直線AN的方程為y=2kx+2k，
將y=kx+k代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，消元可得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0，
由${x}_{M}-1=\frac{-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，得${x}_{M}=\frac{1-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$；
將y=2kx+2k代入x²+y²=4，消元可得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0，
由${x}_{N}-1=\frac{-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，得${x}_{N}=\frac{1-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$．
∵x_M=x_N，∴直線MN⊥x軸．

點評 本題考查橢圓與圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，確定兩點的橫坐標是關鍵，是中檔題．