Question

12．P為△ABC邊BC上的點，滿足3$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$，則$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$的最小值為（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$+1
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 2$\sqrt{2}$+3

Answer 1

分析 P為△ABC邊BC上的點，滿足3$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$，可得$\frac{m}{3}+\frac{n}{3}$=1．（m，n＞0）．再利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出．

解答 解：∵P為△ABC邊BC上的點，滿足3$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$，
∴$\frac{m}{3}+\frac{n}{3}$=1．（m，n＞0）．
則$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=$\frac{1}{3}$（m+n）$（\frac{1}{m}+\frac{2}{n}）$=$\frac{1}{3}（3+\frac{n}{m}+\frac{2m}{n}）$$≥\frac{1}{3}（3+2\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{2m}{n}}）$=$\frac{1}{3}（3+2\sqrt{2}）$，當且僅當n=$\sqrt{2}$m=6-3$\sqrt{2}$時取等號．
故選：A．

點評 本題考查了向量共線定理、“乘1法”與基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．