Question

3．已知1＜m＜4，F₁，F₂為曲線$C：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4-m}=1$的左、右焦點，點P為曲線C與曲線$E：{x^2}-\frac{y^2}{m-1}=1$在第一象限的交點，直線l為曲線C在點P處的切線，若三角形F₁PF₂的內心為點M，直線F₁M與直線l交于N點，則點M，N橫坐標之和為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 隨m的變化而變化

Answer 1

分析 先求出P的坐標，得出切線方程，求出三角形F₁PF₂的內切圓的半徑、直線F₁M的方程，聯立求出N的橫坐標，即可得出結論．

解答 解：聯立兩曲線方程，消去y可得x=$\frac{2}{\sqrt{m}}$，
設P（x₀，y₀），直線l的方程為$\frac{{x}_{0}x}{4}+\frac{{y}_{0}y}{4-m}$=1①，
設三角形F₁PF₂的內切圓的半徑為r，則由等面積可得$2\sqrt{m}{y}_{0}$=（4+$2\sqrt{m}$）r，
∴r=$\frac{\sqrt{m}{y}_{0}}{2+\sqrt{m}}$=y_M②，
直線F₁M的方程為y=$\frac{{y}_{M}}{1+\sqrt{m}}$（x+$\sqrt{m}$）③，
聯立①②③，化簡可得$3\sqrt{m}$x=6$\sqrt{m}$，
∴x_N=2，
∵x_M=1，
∴x_M+x_N=3
故選：C．

點評 本題考查題意、雙曲線方程的性質，考查直線與橢圓的位置關系，正確計算是關鍵．