Question

2．如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面為矩形且SA⊥底面ABCD，若側(cè)棱SC=5$\sqrt{2}$，則此四棱錐的外接球表面積為（　　）

• A． 25π
• B． 50π
• C． 100π
• D． 200π

Answer 1

分析 如圖所示，連接AC，BD相交于點(diǎn)O₁．取SC的中點(diǎn)，連接OO₁．利用三角形的中位線定理可得OO₁∥SA．由于SA⊥底面ABCD，可得OO₁⊥底面ABCD．可得點(diǎn)O是四棱錐S-ABCD外接球的球心，SC是外接球的直徑，即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖所示連接AC，BD相交于點(diǎn)O₁．取SC的中點(diǎn)，連接OO₁．
則OO₁∥SA．
∵SA⊥底面ABCD，
∴OO₁⊥底面ABCD．
可得點(diǎn)O是四棱錐S-ABCD外接球的球心．
因此SC是外接球的直徑．
∵SC=5$\sqrt{2}$，∴4R²=50，
∴四棱錐P-ABCD外接球的表面積為4πR²=50π．
故選B．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的性質(zhì)、三角形的中位線定理、正方形的性質(zhì)、勾股定理、球的表面積，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．