Question

10．已知cos（θ+$\frac{5π}{12}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且θ為銳角，則cos（$\frac{π}{4}$-θ）的值為（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 法一：由已知根據角的范圍，利用同角三角函數基本關系式可求sin（θ+$\frac{5π}{12}$）的值，由$\frac{π}{4}$-θ=（θ+$\frac{5π}{12}$）-$\frac{2π}{3}$，利用兩角差的余弦函數公式即可計算得解．
法二：由已知利用三角函數恒等變換的應用化簡可求2sin（2θ+$\frac{π}{3}$）=0，解得：θ=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，k∈Z，結合θ為銳角，可得：θ=$\frac{π}{3}$，進而利用兩角差的余弦函數公式及特殊角的三角函數值即可計算得解．

解答 解：法一：∵cos（θ+$\frac{5π}{12}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且θ為銳角，
∴θ+$\frac{5π}{12}$∈（$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$），可得：sin（θ+$\frac{5π}{12}$）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（θ+\frac{5π}{12}）}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cos（$\frac{π}{4}$-θ）=cos[（θ+$\frac{5π}{12}$）-$\frac{2π}{3}$]=cos（θ+$\frac{5π}{12}$）cos$\frac{2π}{3}$+sin（θ+$\frac{5π}{12}$）sin$\frac{2π}{3}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）×$（-\frac{1}{2}）$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$．
法二：∵cos（θ+$\frac{5π}{12}$）=cos（θ+$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{12}$）=-sin（θ-$\frac{π}{12}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sin（θ-$\frac{π}{12}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sin（θ+$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴化簡可得：sinθ（1+$\sqrt{3}$）+cosθ（1-$\sqrt{3}$）=2，兩邊平方可得：sin2θ+$\sqrt{3}$cos2θ=0，
∴可得：2sin（2θ+$\frac{π}{3}$）=0，解得：θ=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∵θ為銳角，可得：θ=$\frac{π}{3}$，
∴cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{3}$）=cos$\frac{π}{4}$cos$\frac{π}{3}$+sin$\frac{π}{4}$sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$．
故選：D．

點評 本題主要考查了三角函數恒等變換在三角函數化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．