Question

10．已知（${x}^{\frac{2}{3}}$+3x²）ⁿ的展開式中，各項系數和比它的二項式系數和大992．
（1）求（1-$\frac{x}{2}$）²ⁿ的展開式中各項系數的最大值和最小值；
（2）已知（1+x+x²）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ求下列各式的值：
①a₁+a₂+a₂+…+a_2n；
②a₁+2a₂+3a₂+…+2na_2n；
③a₂+2a₃+2²a4…+2^2n-2a_2n．

Answer 1

分析 利用已知條件求出n，二項式系數的和，
（1）求出二項展開式系數的表達式，然后列出不等式求解項的最大值．
（2）①令x=0得，a₀=1，令x=1，求解即可；
②對 ${（1+x+{x^2}）^5}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_{10}}{x^{10}}$兩邊求導，$5{（1+x+{x^2}）^4}（1+2x）={a_1}+2{a_2}x+…+10{a_{10}}{x^9}$，令x=1，求解即可；
③令x=0得，化簡求解即可．

解答 解：令x=1，則展開式中各項系數和為（1+3）ⁿ=2²ⁿ，
又展開式中二項式系數和為2n，∴2²ⁿ-2ⁿ=992，．（2ⁿ-32）（2ⁿ+31）=0，故2ⁿ=32，n=5      …（2分）
（1）當n=5時，${（1-\frac{x}{2}）^{10}}$的展開式中，各項系數為${a_k}=C_{10}^k{（-\frac{1}{2}）^k}，k=0，1，2，…，10$，
設|a_k|最大，則$\left\{\begin{array}{l}C_{10}^k{（\frac{1}{2}）^k}≥C_{10}^{k+1}{（\frac{1}{2}）^{k+1}}\\ C_{10}^k{（\frac{1}{2}）^k}≥C_{10}^{k-1}{（\frac{1}{2}）^{k-1}}\end{array}\right.$，解得$\frac{8}{3}≤k≤\frac{11}{3}$，∵k∈Z，∴k=3，
故系數最小值為${a_3}=C_{10}^3{（-\frac{1}{2}）^3}=-15$，…（4分）
又因為${a_2}=C_{10}^2{（-\frac{1}{2}）^2}=\frac{45}{4}$，${a_4}=C_{10}^4{（-\frac{1}{2}）^4}=\frac{105}{8}$，a₂＜a₄，
故系數最大值為${a_4}=\frac{105}{8}$．   …（6分）
（2）當n=5時，${（1+x+{x^2}）^5}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_{10}}{x^{10}}$，
①令x=0得，a₀=1，令x=1得，${a_0}+{a_1}+{a_2}+…+{a_{10}}={3^5}=243$，
所以a₁+a₂+…+a₁₀=243-1=242…（8分）
②對 ${（1+x+{x^2}）^5}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_{10}}{x^{10}}$兩邊求導得，$5{（1+x+{x^2}）^4}（1+2x）={a_1}+2{a_2}x+…+10{a_{10}}{x^9}$，
令x=1得，a₁+2a₂+3a₃+…+10a₁₀=1215，…（10分）
③在上式中，令x=0得，a₁=5，
又在 ${（1+x+{x^2}）^5}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_{10}}{x^{10}}$中，
令x=2得，${a_0}+2{a_1}+{2^2}{a_2}+…+{2^{10}}{a_{10}}={7^5}$，
所以${2^2}{a_2}+…+{2^{10}}{a_{10}}={7^5}-{a_0}-2{a_1}=16796$，
兩邊同時除以4，得${a_2}+2{a_3}+{2^2}{a_4}+…+{2^8}{a_{10}}=4199$．…（12分）

點評 本題考查二項式定理的應用，賦值法的應用，考查分析問題解決問題的能力．