Question

5．若|$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2|$\overrightarrow{a}$|，則向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$的夾角為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 計算|$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2|$\overrightarrow{a}$|得出|$\overrightarrow{a}$|，|$\overrightarrow$|的關系和$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，計算（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）$•\overrightarrow{a}$，代入平面向量的數量積公式即可得出結論．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2|$\overrightarrow{a}$|，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$=4${\overrightarrow{a}}^{2}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，${\overrightarrow}^{2}$=3${\overrightarrow{a}}^{2}$，
∴（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）$•\overrightarrow{a}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=${\overrightarrow{a}}^{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}$＞=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|•|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}{2|\overrightarrow{a}{|}^{2}}$=$\frac{1}{2}$．
∴向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$的夾角為$\frac{π}{3}$．
故選B．

點評 本題考查了平面向量的數量積運算，屬于中檔題．