Question

13．（1）一個正方體的頂點都在球面上，它的棱長是2cm，求球的表面積．
（2）已知各面均為等邊三角形的四面體S-ABC的棱長為1，求它的體積．

Answer 1

分析 （1）設出正方體的棱長，求出正方體的體對角線的長，就是球的直徑，求出球的表面積即可．
（2）由題意畫出圖形，求出四面體的高，代入棱錐體積公式求得體積．

解答 解：（1）正方體的棱長為：2cm，正方體的體對角線的長為：2$\sqrt{3}$cm，就是球的直徑，
∴球的表面積為：S₂=4π（$\sqrt{3}$）²=12πcm²．
（2）解：如圖，四面體S-ABC的各棱長為1，則其四個面均為邊長為1的等邊三角形，
過S作底面垂線，垂足為O，則O為底面三角形的中心，連接BO并延長，交AC于D．
則BO=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×1=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴SO=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$
體積V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{12}$

點評 本題考查了棱柱，棱錐的表面積、體積，屬于中檔題．