Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=alnx-x-$\frac{1}{2}{x^2}$
（ I）a=2，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （ I）求出導(dǎo)函數(shù)，通過a=2，求出極值點(diǎn)，利用單調(diào)性判斷的極值，然后求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=a-x-x²，△=1+4a，通過a與-$\frac{1}{4}$的大小，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答 （本題滿分12分）
解：$f'（x）=\frac{a}{x}-1-x=\frac{{a-x-{x^2}}}{x}$，x＞0    （2分）
（ I）a=2，$f'（x）=\frac{{2-x-{x^2}}}{x}=\frac{{-（{x+2}）（{x-1}）}}{x}$
當(dāng)x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）遞增；
x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）遞減$f{（x）_{極大}}=f（1）=-\frac{3}{2}$，無極小值，（5分）
（ II）設(shè)g（x）=a-x-x²，△=1+4a
若$a≤-\frac{1}{4}，△≤0，g（x）≤0，f'（x）≤0，f（x）在（{0，+∞}）↓$-------（7分）
若$a＞-\frac{1}{4}$，$g（x）=0，{x_1}=\frac{{-1-\sqrt{1+4a}}}{2}＜0，{x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1+4a}}}{2}$
當(dāng)$-\frac{1}{4}＜a≤0$，x₂≤0，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上遞減--------（9分）
當(dāng)a＞0，x₂＞0，函數(shù)$f（x）在（{0，\frac{{-1+\sqrt{1+4a}}}{2}}）上遞增，在（{\frac{{-1+\sqrt{1+4a}}}{2}，+∞}）上遞減$．-----（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值的判斷，考查分類討論思想的應(yīng)用，是中檔題．