Question

12．把復數z的共軛復數記作$\overline{z}$，已知$（{1+2i}）\overline{z}=4+3i$，求z及$|{\bar z}|$．

Answer 1

分析 設復數z=x+yi（x，y∈R），這里必須強調x，y∈R，則$\overline{z}=x-yi$，于是$（{1+2i}）\overline{z}=（{1+2i}）（{x-yi}）$，按照復數乘法進行運算，然后根據復數相等的充要條件列方程組，求出x，y的值，得到z及$\bar z$，進而根據$|z|=\sqrt{{x^2}+{y^2}}$可以求出$|{\bar z}|$的值．

解答 解：設z=x+yi（x∈R，y∈R），則$\overline{z}=x-yi$，$（{1+2i}）\overline{z}=（{1+2i}）（{x-yi}）=（{x+2y}）+（{2x-y}）i=4+3i$，
則$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=4}\\{2x-y=3}\end{array}$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}$，
∴z=2+i，$|z|=\sqrt{5}$，∴$|{\bar z}|=\sqrt{5}$．

點評 本題考查了復數的運算法則、復數相等、模的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．