Question

15．如圖，在邊長為3的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，且PA=3，E為PD中點，F在棱PA上，且AF=1．
（1）求證：CE∥平面BDF；
（2）求點P到平面BDF的距離．

Answer 1

分析 （1）取PF中點G，連接AC交BD于O點，連接FO，GC，EG證明GE∥FD，FO∥GC，然后證明面EGC∥平面BDF，推出CE∥平面BDF．
（2）由題意知點P到平面BDF的距離等于A到平面BDF的距離的兩倍，記A到平面BDF的距離為h，則在四面體FABD中，利用等體積法求解P到平面BDF的距離．

解答 （本題滿分12分）
解：（1）證明：取PF中點G，連接AC交BD于O點，
連接FO，GC，EG
由題意易知G為PF中點，又E為PD中點，所以GE∥FD，
故$\left\{\begin{array}{l}GE∥FD\\ GE?面BDF\\ FD?面BDF\end{array}\right.⇒GE∥面BDF$
FO為三角形AGC的中位線，所以FO∥GC，$\left\{\begin{array}{l}GC∥FO\\ GC?面BDF\\ FO?面BDF\end{array}\right.⇒GC∥面BDF$，
所以面EGC∥平面BDF，EC?EGC，∴CE∥平面BDF…（6分）
（2）由題意知點P到平面BDF的距離等于A到平面BDF的距離的兩倍，
記A到平面BDF的距離為h，則在四面體FABD中，易求得${S_{△BDF}}=\frac{{3\sqrt{39}}}{4}$，
由體積自等得${V_{A-BDF}}={V_{D-ABF}}⇒\frac{1}{3}•\frac{{3\sqrt{39}}}{4}•h=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•3•1•\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
∴$h=\frac{{3\sqrt{13}}}{13}$，∴P到平面BDF的距離等于$2h=\frac{{6\sqrt{13}}}{13}$…（12分）
（向量做法相應給分）

點評 本題考查直線與平面平行的判定定理的應用，空間點線面距離的求法，考查空間想象能力以及計算能力．