Question

3．已知函數f（x）定義域為[-1，1]，若對于任意的x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，有f（x）＞0．
（1）證明：f（x）為奇函數；
（2）證明：f（x）在[-1，1]上單調遞增；
（3）設f（1）=1，若f（x）＜m-2am+2，對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意令x=y=0，可得f（0）=2f（0），解得f（0）．令x=-y∈[-1，1]，可得f（0）=f（x）+f（-x），即可證明f（x）為奇函數．
（2）令-1≤x₁≤x₂≤1，則f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＞0，即可證明單調性．
（3）f（x）在[-1，1]上單調遞增，kd f（x）≤f（1）=1，根據f（x）＜m-2am+2，對所有x∈[-1，1]，
a∈[-1，1]恒成立，可得1＜m-2am+2，即g（a）=-2ma+m+1＞0，對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，看作關于a的一次函數，利用單調性即可得出．

解答 （1）證明：∵對于任意的x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0，可得f（0）=2f（0），解得f（0）=0．
令x=-y∈[-1，1]，可得f（0）=f（x）+f（-x），解得f（-x）=-f（x）．
因此f（x）為奇函數．
（2）證明：令-1≤x₁＜x₂≤1，則f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），∴f（x）在[-1，1]上單調遞增．
（3）解：f（x）在[-1，1]上單調遞增，∴f（x）≤f（1）=1，
∵f（x）＜m-2am+2，對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
∴1＜m-2am+2，即g（a）=-2ma+m+1＞0，對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
看作關于a的一次函數，則$\left\{\begin{array}{l}{2m+m+1＞0}\\{-2m+m+1＞0}\end{array}\right.$，解得$-\frac{1}{3}＜m＜1$．
∴實數m的取值范圍是$（-\frac{1}{3}，1）$．

點評 本題考查了抽象函數的求值單調性奇偶性、解不等式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．