Question

6．如圖，某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長為x，y（單位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架圍成的總面積是8m²
（1）求x，y的關(guān)系式，并求x的取值范圍；
（2）問x，y分別為多少時用料最��？

Answer 1

分析 （1）由題意可得：xy+$\frac{1}{2}•$$（\frac{x}{\sqrt{2}}）^{2}$=8．化為：y=$\frac{32-{x}^{2}}{4x}$，令y＞0，解出即可得出x的取值范圍．
（2）用料總長度f（x）=2y+2x+$\sqrt{2}$x=$\frac{3}{2}x$+$\sqrt{2}$x+$\frac{16}{x}$，（0＜x＜4$\sqrt{2}$）．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：xy+$\frac{1}{2}•$$（\frac{x}{\sqrt{2}}）^{2}$=8．
化為：y=$\frac{32-{x}^{2}}{4x}$（0＜x＜4$\sqrt{2}$）．
（2）用料總長度f（x）=2y+2x+$\sqrt{2}$x=$2×\frac{32-{x}^{2}}{4x}$+2x+$\sqrt{2}$x=$\frac{3}{2}x$+$\sqrt{2}$x+$\frac{16}{x}$，（0＜x＜4$\sqrt{2}$）．
f′（x）=$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$-$\frac{16}{{x}^{2}}$=$\frac{（3+2\sqrt{2}）{x}^{2}-32}{2{x}^{2}}$=$\frac{（x+8-4\sqrt{2}）[x-（8-4\sqrt{2}）]}{2{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=8-4$\sqrt{2}$，此時函數(shù)f（x）取得極小值即最小值．可得y=2$\sqrt{2}$．
∴x，y分別為8-4$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$時用料最省．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、方程思想方法、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．