Question

17．設函數f（x）=$\frac{x^2}{2}$-alnx．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數y=f（x）的單調區間和極值；
（Ⅲ）若函數f（x）在區間（1，e²]內恰有兩個零點，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）代入a值，利用導函數求出k值，得出切線方程；
（Ⅱ）求出導函數，對參數a分類討論，得出函數的單調性和極值情況；
（Ⅲ）函數可轉化為y=$\frac{1}{a}$與y=$\frac{2lnx}{{x}^{2}}$在區間（1，e²]內恰有兩個交點，構造函數g（x）=$\frac{2lnx}{{x}^{2}}$，利用導函數g'（x）=$\frac{2x（1-lnx）}{{x}^{3}}$求出函數的值域即可得出a的范圍，

解答 （Ⅰ）當a=1時，
f（x）=$\frac{x^2}{2}$-lnx，f'（x）=x-$\frac{1}{x}$，
∵f'（1）=0，f（1）=$\frac{1}{2}$，
∴在點（1，f（1））處的切線方程y=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）f'（x）=$\frac{{x}^{2}-a}{x}$，
當a≤0時，f'（x）＞0，f（x）遞增，函數無極值；
當a＞0時，在（0，$\sqrt{a}$）時遞減，在（$\sqrt{a}$，+∞）時遞增，函數的極小值為f（$\sqrt{a}$）=0；
（Ⅲ）f（x）=$\frac{x^2}{2}$-alnx在區間（1，e²]內恰有兩個零點，
∴y=$\frac{1}{a}$與y=$\frac{2lnx}{{x}^{2}}$在區間（1，e²]內恰有兩個交點，
令g（x）=$\frac{2lnx}{{x}^{2}}$，g'（x）=$\frac{2x（1-lnx）}{{x}^{3}}$，
g（x）在（0，e）遞增，在（e，e²）上遞減，
∴g（e）=$\frac{2}{{e}^{2}}$，g（e²）=$\frac{4}{{e}^{4}}$，
∴$\frac{1}{a}$∈[$\frac{4}{{e}^{4}}$，$\frac{2}{{e}^{2}}$），
∴a∈（$\frac{{e}^{2}}{2}$，$\frac{{e}^{4}}{4}$]．

點評 本題考查了導函數的概念和應用，難點是對問題的轉化和分類討論思想的應用．