Question

4．某產品的廣告支出x（單位：萬元）與銷售收入y（單位：萬元）之間有下表所對應的數據：

廣告支出x（單位：萬元）	1	2	3	4
銷售收入y（單位：萬元）	12	28	42	56

（Ⅰ）求出y對x的線性回歸方程；
（Ⅱ）若廣告費為9萬元，則銷售收入約為多少萬元？
（線性回歸方程系數公式：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （I）觀察散點圖可知各點大致分布在一條直線附近，得到這組數據符合線性相關，求出利用最小二乘法所需要的數據，做出線性回歸方程的系數，得到方程．
（Ⅱ）把x=9代入線性回歸方程，估計出當廣告費為9萬元時，銷售收入約為129.4萬元．

解答 解：（Ⅰ）列出下列表格，

xi	1	2	3	4
yi	12	28	42	56
${{x}_{i}}^{2}$	1	4	9	16
xiyi	12	56	126	224
$\sum_{i=1}^{4}$xiyi=418，$\sum_{i=1}^{4}$${{x}_{i}}^{2}$=30，$\overline{x}$=$\frac{5}{2}$，$\overline{y}$=$\frac{69}{2}$

…（4分）
代入公式得：b=$\frac{418-4×\frac{5}{2}×\frac{69}{2}}{30-4{×（\frac{5}{2}）}^{2}}$=$\frac{73}{5}$，…（5分）
a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=$\frac{69}{2}$-$\frac{73}{5}$×$\frac{5}{2}$=-2．…（6分）
故y與x的線性回歸方程為y=$\frac{73}{5}$x-2．…（7分）
（Ⅱ）當x=9萬元時，y=$\frac{73}{5}$×9-2=129.4（萬元）．…（9分）
所以當廣告費為9萬元時，可預測銷售收入約為129.4萬元．…（10分）．

點評 本題考查線性回歸方程的寫法和應用，解題的關鍵是正確求出線性回歸方程的系數，本題是一個中檔題．