Question

3．已知$|\overrightarrow a|=1$，$|\overrightarrow b|=2$，$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為60°，則$\overrightarrow a+\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$上的投影為2．

Answer 1

分析 根據題意求出|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的值，求出向量（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）與$\overrightarrow{a}$的夾角為θ的余弦值，再利用數量積公式和向量投影的定義，即可求出向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影值．

解答 解：$|\overrightarrow a|=1$，$|\overrightarrow b|=2$，$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為60°，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|×|$\overrightarrow{b}$|×cos60°=1×2×$\frac{1}{2}$=1；
由此可得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²=|$\overrightarrow{a}$|²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{b}$|²=1+2+4=7，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{7}$；
設$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{a}$的夾角為θ，
∵（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=|$\overrightarrow{a}$|²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1+1=2，
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|×|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{2}{\sqrt{7}×1}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
可得向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影為：
|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|cosθ=$\sqrt{7}$×$\frac{2\sqrt{7}}{7}$=2．
故答案為：2．

點評 本題考查了平面向量數量積的定義、向量的夾角公式以及模長、投影的概念與計算問題，屬于基礎題目．