Question

18．對于定義域為D的函數y=f（x），如果存在區間[m，n]⊆D，同時滿足：
①f（x）在[m，n]上是單調函數；
②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．
則稱[m，n]是該函數的“等域區間”．
（1）求證：函數$g（x）=3-\frac{5}{x}$不存在“等域區間”；
（2）已知函數$h（x）=\frac{（2a+2）x-1}{{{a^2}x}}$（a∈R，a≠0）有“等域區間”[m，n]，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）該問題是一個確定性問題，從正面證明有一定的難度，故可采用反證法來進行證明，即先假設區間[m，n]為函數的“和諧區間”，然后根據函數的性質得到矛盾，進而得到假設不成立，原命題成立．
（2）設[m，n]是已知函數定義域的子集，我們可以用a表示出n-m的取值，轉化為二次函數的最值問題后，根據二次函數的性質，可以得到答案．

解答 解：（1）證明：設[m，n]是已知函數定義域的子集．
∵x≠0，∴[m，n]⊆（-∞，0），或[m，n]⊆（0，+∞），
故函數$g（x）=3-\frac{5}{x}$在[m，n]上單調遞增．
若[m，n]是已知函數的“等域區間”，則$\left\{\begin{array}{l}g（m）=m\\ g（n）=n\end{array}\right.$
故m、n是方程$3-\frac{5}{x}=x$的同號的相異實數根．
∵x²-3x+5=0無實數根，
∴函數$y=3-\frac{5}{x}$不存在“等域區間”．
（2）設[m，n]是已知函數定義域的子集，
∵x≠0，∴[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），
故函數$h（x）=\frac{（2a+2）x-1}{{{a^2}x}}=\frac{2a+2}{a^2}-\frac{1}{{{a^2}x}}$在[m，n]上單調遞增．
若[m，n]是已知函數的“等域區間”，則$\left\{\begin{array}{l}h（m）=m\\ h（n）=n\end{array}\right.$
故m、n是方程$\frac{2a+2}{a^2}-\frac{1}{{{a^2}x}}=x$，即a²x²-（2a+2）x+1=0的同號的相異實數根．
∵$mn=\frac{1}{a^2}＞0$，∴m，n同號，故只需△=（-（2a+2））²-4a²=8a+4＞0，
解得$a＞-\frac{1}{2}$，
∴實數a的取值范圍為$（-\frac{1}{2}，+∞）$．

點評 本題考查的知識點是函數的單調性的性質，及確定性問題，要注意建立“正難則反”的思想，選擇反證法來簡化證明過程．屬于難題．