Question

13．在某次水下科研考察活動中，需要潛水員潛入水深為60米的水底進行作業，根據以往經驗，潛水員下潛的平均速度為v（米/單位時間），每單位時間的用氧量為${（\frac{v}{10}）^3}+1$（升），在水底作業10個單位時間，每單位時間用氧量為0.9（升），返回水面的平均速度為$\frac{v}{2}$（米/單位時間），每單位時間用氧量為1.5（升），記該潛水員在此次考察活動中的總用氧量為y（升）．
（1）求y關于v的函數關系式；
（2）若c≤v≤15（c＞0），求當下潛速度v取什么值時，總用氧量最少．

Answer 1

分析 （1）分別計算潛入水底用時、用氧量；水底作業時用氧量；返回水面用時、用氧量，即可得到總用氧量的函數；
（2）利用基本不等式可得$v=10\root{3}{2}$，時取等號，再結合c≤v≤15（c＞0），即可求得確定下潛速度v，使總的用氧量最少．

解答 解：（1）由題意，下潛用時$\frac{60}{v}$（單位時間），用氧量為$[{（\frac{v}{10}）^3}+1]×\frac{60}{v}=\frac{{3{v^2}}}{50}+\frac{60}{v}$（升），
水底作業時的用氧量為10×0.9=9（升），返回水面用時$\frac{60}{{\frac{v}{2}}}=\frac{120}{v}$（單位時間），用氧量為$\frac{120}{v}×1.5=\frac{180}{v}$（升），
∴總用氧量$y=\frac{{3{v^2}}}{50}+\frac{240}{v}+9$（v＞0）．
（2）$y'=\frac{6v}{50}-\frac{240}{v^2}=\frac{{3（{v^3}-2000）}}{{25{v^2}}}$，令y'=0得$v=10\root{3}{2}$，在$0＜v＜10\root{3}{2}$時，y'＜0，函數單調遞減，在$v＞10\root{3}{2}$時，y'＞0，函數單調遞增，
∴當$c＜10\root{3}{2}$時，函數在$（0，10\root{3}{2}）$上遞減，在$（10\root{3}{2}，15）$上遞增，
∴此時$v=10\root{3}{2}$時用氧量最少．當$c≥10\root{3}{2}$時，[c，15]上遞增，此時v=c時，總用氧量最少．

點評 本題考查函數模型的構建，考查基本不等式的運用，考查導數知識，考查分類討論的數學思想．