Question

6．在△ABC中，D為AC中點，$\overrightarrow{AB}$=4$\overrightarrow{AE}$，直線BD交CE于點M，過M的動直線l分別交線段CD、BE于P、Q兩點，若$\overrightarrow{AB}$=x$\overrightarrow{AQ}$，$\overrightarrow{AC}$=y$\overrightarrow{AP}$，則xy的最大值為$\frac{49}{12}$．

Answer 1

分析 如圖所示，由向量共線定理可設：$\overrightarrow{AM}$=a$\overrightarrow{AE}$+（1-a）$\overrightarrow{AC}$=$\frac{a}{4}$$\overrightarrow{AB}$+（1-a）$\overrightarrow{AC}$.$\overrightarrow{AM}$=b$\overrightarrow{AB}$+（1-b）$\overrightarrow{AD}$=b$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$（1-b）$\overrightarrow{AC}$．比較系數可得a，b．$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{7}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{7}$$\overrightarrow{AC}$．設$\overrightarrow{AM}$=c$\overrightarrow{AQ}$+（1-c）$\overrightarrow{AP}$=$\frac{c}{x}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1-c}{y}$$\overrightarrow{AC}$，可得$\frac{c}{x}$=$\frac{1}{7}$，$\frac{1-c}{y}$=$\frac{3}{7}$，消去c，利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：如圖所示，
由向量共線定理可設：$\overrightarrow{AM}$=a$\overrightarrow{AE}$+（1-a）$\overrightarrow{AC}$=$\frac{a}{4}$$\overrightarrow{AB}$+（1-a）$\overrightarrow{AC}$．
$\overrightarrow{AM}$=b$\overrightarrow{AB}$+（1-b）$\overrightarrow{AD}$=b$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$（1-b）$\overrightarrow{AC}$．
∴$\frac{a}{4}$=b，1-a=$\frac{1}{2}$（1-b），
解得a=$\frac{4}{7}$，b=$\frac{1}{7}$．
∴$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{7}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{7}$$\overrightarrow{AC}$．
設$\overrightarrow{AM}$=c$\overrightarrow{AQ}$+（1-c）$\overrightarrow{AP}$
=$\frac{c}{x}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1-c}{y}$$\overrightarrow{AC}$，
∴$\frac{c}{x}$=$\frac{1}{7}$，$\frac{1-c}{y}$=$\frac{3}{7}$，
可得：x+3y=7．
∴7≥$2\sqrt{x•3y}$，化為：xy≤$\frac{49}{12}$．當且僅當x=3y=$\frac{7}{2}$時取等號．
則xy的最大值$\frac{49}{12}$．
故答案為：$\frac{49}{12}$．

點評 本題考查了平面向量基本定理、向量共線定理、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．