Question

19．定義函數序列：${f_1}（x）=f（x）=\frac{x}{1-x}$，f₂（x）=f（f₁（x）），f₃（x）=f（f₂（x）），…，f_n（x）=f（f_n-1（x）），則函數y=f₂₀₁₇（x）的圖象與曲線$y=\frac{1}{x-2017}$的交點坐標為（　　）

• A． $（{-1，-\frac{1}{2018}}）$
• B． $（{0，\frac{1}{-2017}}）$
• C． $（{1，\frac{1}{-2016}}）$
• D． $（{2，\frac{1}{-2015}}）$

Answer 1

分析 由題意，可先求出f₁（x），f₂（x），f₃（x）…，歸納出f_n（x）的表達式，即可得出f₂₀₁₇（x）的表達式，進而得到答案．

解答 解：由題意f₁（x）=f（x）=$\frac{x}{1-x}$．
f₂（x）=f（f₁（x））=$\frac{\frac{x}{1-x}}{1-\frac{x}{1-x}}$=$\frac{x}{1-2x}$，
f₃（x）=f（f₂（x））=$\frac{\frac{x}{1-2x}}{1-\frac{x}{1-2x}}$=$\frac{x}{1-3x}$，
…
f_n（x）=f（f_n-1（x））=$\frac{x}{1-nx}$，
∴f₂₀₁₇（x）=$\frac{x}{1-2017x}$，
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{x-2017}\\ y=\frac{x}{1-2017x}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=\frac{1}{-2016}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=\frac{1}{-2018}\end{array}\right.$，
由${f_1}（x）=f（x）=\frac{x}{1-x}$中x≠1得：
函數y=f₂₀₁₇（x）的圖象與曲線$y=\frac{1}{x-2017}$的交點坐標為$（{-1，-\frac{1}{2018}}）$，
故選：A

點評 本題考查邏輯推理中歸納推理，由特殊到一般進行歸納得出結論是此類推理方法的重要特征．