Question

11．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各頂點都在同一球面上，若AB=AC=AA₁=2，∠BAC=120°，則此球的表面積等于（　�。�

• A． 20π
• B． 10π
• C． 5π
• D． 5$\sqrt{5}$π

Answer 1

分析 通過已知條件求出底面外接圓的半徑，設(shè)此圓圓心為O'，球心為O，在RT△OBO'中，求出球的半徑，然后求出球的表面積．

解答 解：如圖底面三角形ABC的外心是O′，O′A=O′B=O′C=r，
在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，
可得BC=$\sqrt{4+4-2×2×2×（-\frac{1}{2}）}$=2$\sqrt{3}$，
由正弦定理可得△ABC外接圓半徑r=$\frac{2\sqrt{3}}{2sin120°}$=2，
設(shè)此圓圓心為O'，球心為O，在RT△OBO'中，
易得球半徑R=$\sqrt{5}$，
故此球的表面積為4πR²=20π
故選A．

點評 本題是基礎(chǔ)題，解題思路是：先求底面外接圓的半徑，轉(zhuǎn)化為直角三角形，求出球的半徑，這是三棱柱外接球的常用方法．