Question

6．已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M為CD的中點．如圖將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（Ⅰ）求證：BM⊥平面ADM；
（Ⅱ）若點E是線段DB上的中點，求三棱錐E-ABM的體積V₁與四棱錐D-ABCM的體積V₂之比．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出BM⊥AM，BM⊥AM，由此能證明BM⊥平面ADM．
（Ⅱ）推導出${V_1}=\frac{1}{2}{V_{D-ABM}}$，${S_1}=\frac{2}{3}{S_2}$，且${V_2}=\frac{3}{2}{V_{D-ABM}}$，由此能求出三棱錐E-ABM的體積V₁與四棱錐D-ABCM的體積V₂之比．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）因為矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M為CD的中點，
所以$AM=BM=\sqrt{2}$，所以AM²+BM²=AB²，所以BM⊥AM．…（3分）
因為平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，
又BM?平面ABCM，且BM⊥AM，
∴BM⊥平面ADM．…（6分）
解：（Ⅱ）因為E為DB的中點，所以${V_1}=\frac{1}{2}{V_{D-ABM}}$，…（8分）
又直角三角形ABM的面積${S_1}=\frac{1}{2}•\sqrt{2}•\sqrt{2}=1$，
梯形ABCM的面積${S_2}=\frac{1}{2}•（{1+2}）•1=\frac{3}{2}$，
所以${S_1}=\frac{2}{3}{S_2}$，且${V_2}=\frac{3}{2}{V_{D-ABM}}$，…（11分）
所以$\frac{V_1}{V_2}=\frac{{\frac{1}{2}{V_{D-ABM}}}}{{\frac{3}{2}{V_{D-ABM}}}}=\frac{1}{3}$．…（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查兩個幾何體的體積的比值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．