Question

15．已知斜率$k=\frac{1}{2}$且過點A（7，1）的直線l₁與直線l₂：x+2y+3=0相交于點M．
（Ⅰ）求以點M為圓心且過點B（4，-2）的圓的標準方程C；
（Ⅱ）求過點N（4，2）且與圓C相切的直線方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用點斜式，可得直線l₁的方程，聯立直線l₂的方程可得圓心M坐標，由兩點之間距離公式，求出半徑，可得圓的標準方程；
（Ⅱ）分斜率不存在和斜率存在兩種情況兩種情況，分別求出與圓C相切的直線方程，綜合可得答案．

解答 （本小題滿分11分）
解：（Ⅰ）依題意得，直線l₁的方程為$y-1=\frac{1}{2}（x-7）$，即x-2y-5=0．（2分）
由$\left\{\begin{array}{l}x+2y+3=0\\ x-2y-5=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-2\end{array}\right.$．
即點M的坐標為M（1，-2）．（4分）
設圓C的半徑為r，則r²=|BM|²=（4-1）²+（-2+2）²=9．（5分）
所以，圓C的標準方程為（x-1）²+（y+2）²=9．                  （6分）
（Ⅱ）①因為圓C過點B（4，-2），所以直線x=4為過點N（4，2）且與圓C相切的直線．
（8分）
②設過點N（4，2）且與圓C相切的直線方程的斜率為k₁，
則直線方程為k₁x-y+2-4k₁=0．（9分）
由$\frac{{|{{k_1}+2+2-4{k_1}}|}}{{\sqrt{k_1^2+1}}}=3$，得${k_1}=\frac{7}{24}$，即7x-24y+20=0是圓C的一條切線方程．（10分）
綜上，過點N（4，2）且與圓C：（x-1）²+（y+2）²=9相切的直線方程為7x-24y+20=0和x=4．（11分）

點評 本題考查的知識點是，直線方程，圓的標準方程，直線與圓的位置關系，難度中檔．