Question

9．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，$\frac{sinA+sinB}{c}$=$\frac{\sqrt{2}sinB-sinC}{b-a}$．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC為銳角三角形，求$\frac{b}{c}$的范圍．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化簡已知的式子后，由余弦定理求出cosA的值，由內(nèi)角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出角A的值；
（2）由（1）和內(nèi)角和定理表示出B，由銳角三角形的條件列出不等式組，求出C的范圍，由正弦定理、兩角差的正弦公式、商的關(guān)系化簡$\frac{b}{c}$后，由正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出答案．

解答 解：（1）由題意知，$\frac{sinA+sinB}{c}=\frac{\sqrt{2}sinB-sinC}{b-a}$，
由正弦定理得，$\frac{a+b}{c}=\frac{\sqrt{2}b-c}{b-a}$，
化簡得，${b}^{2}-{a}^{2}=\sqrt{2}bc-{c}^{2}$，
即${b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}=\sqrt{2}bc$，
由余弦定理得，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又0＜A＜π，則A=$\frac{π}{4}$；
（2）由（1）得A=$\frac{π}{4}$，又A+B+C=π，則B=$\frac{3π}{4}$-C，
因為△ABC是銳角三角形，
所以$\left\{\begin{array}{l}{0＜C＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{3π}{4}-C＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，解得$\frac{π}{4}＜C＜\frac{π}{2}$，
由正弦定理得，$\frac{b}{c}=\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{sin（\frac{3π}{4}-C）}{sinC}$
=$\frac{sin\frac{3π}{4}cosC-cos\frac{3π}{4}sinC}{sinC}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}cosC+\frac{\sqrt{2}}{2}sinC}{sinC}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}（\frac{1}{tanC}+1）$，
由$\frac{π}{4}＜C＜\frac{π}{2}$得，tanC＞1，即$0＜\frac{1}{tanC}＜1$，
所以$\frac{\sqrt{2}}{2}＜\frac{\sqrt{2}}{2}（\frac{1}{tanC}+1）＜\sqrt{2}$，
即$\frac{b}{c}$的范圍是$（\frac{\sqrt{2}}{2}，\sqrt{2}）$．

點評 本題考查了正弦定理、余弦定理，兩角差的正弦公式，內(nèi)角和定理，商的關(guān)系等，以及正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，化簡、變形能力．