Question

已知函數f（x）=log₂（ax²+2x+3）
（1）若f（1）=1，求f（x）的單調區間；
（2）若已知函數的值域為R，求a的取值范圍；
（3）是否存在實數a，使f（x）的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）代入值計算即可
（2）函數f（x）定義域為R則，ax²+2x+3＞0，x∈R上恒成立，根據二次函數性值判斷條件．
（3）存在實數a，使f（x）的最小值為1，根據復合函數單調性，可判斷即a＞0，g（x）_min=g（-

1

a

）=1，求出a的值

解答： 解（1）∵f（1）=1，
∴log₂（a+2+3）=1=log₂2，
∴a+2+3=2，
解得a=-3，
（2）∵已知函數的值域為R，
∴ax²+2x+3＞0恒成立，
∴

a＞0 △＜0

，
即

a＞0 4-12a＜0

，
解得a＞

1

3

（3）令g（x）=ax²+2x+3，有題意知，要使f（x）取最小值為0，則函數g（x）需取得最小值1，
拋物線開口向上，即a＞0，
g（x）_min=g（-

1

a

）=1，
即

1

a

-

2

a

+3=1，
∴a=

1

2

滿足條件．

點評：本題考查了對數函數，二次函數的性質，特別是單調性，最值問題，綜合考察要求對函數理解很深刻，應用靈活．