Question

已知圓M的圓心M在x軸上，半徑為2，直線l：3x-4y+1=0被圓M截得的弦長為2

3

，且圓心M在直線l的上方．
（1）求圓M的方程；
（2）設A（0，t），B（0，t+6）（-4≤t≤-2），若圓M是△ABC的內切圓，求△ABC的面積S的最大值及對應的t值．

Answer 1

考點：圓的標準方程,三角形的面積公式

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）設圓心M（a，0），利用M到l：3x-4y+1=0的距離，求出M坐標，然后求圓M的方程；
（2）設AC斜率為k₁，BC斜率為k₂，推出直線AC、直線BC的方程，求出△ABC的面積S的表達式，求出面積的最大值．

解答： 解：（1）設圓心M（a，0），由已知，得M到l：3x-4y+1=0的距離為

22-( 3 )2

=1，∴

|3a+1|

5

=1，
又∵M在l的上方，∴3a+1＜0，∴-3a-1=5，∴a=-2，故圓的方程為（x+2）²+y²=4；
（2）設AC斜率為k₁，BC斜率為k₂，則直線AC的方程為y=k₁x+t，直線BC的方程為y=k₂x+t+6．
聯立得C點的橫坐標為

6

k1-k2

，
∵|AB|=t+6-t=6，∴S=

1

2

|

6

k1-k2

|×6=|

18

k1-k2

|
由于圓M與AC相切，所以

|-2k1+t|

1+k12

=2，∴k₁=

t2-4

4t

同理，k₂=

(t+6)2-4

4(t+6)

，
∴k₁-k₂=-

3

2

（1+

4

t2+6t

），
∵-4≤t≤-2，∴-9≤t²+6t≤-8，∴-8≤t²+6t+1≤-4，∴

3

4

≤|k₁-k₂|≤

5

6

，
∴S_max=24．
此時t²+6t=-8，t=-2或-4．

點評：本題是中檔題，考查直線與圓的位置關系，三角形面積的最值的求法，考查計算能力．