Question

已知向量

m

=（cosθ，sinθ）和

n

=（

2

-sinθ，cosθ），θ=（π，2π），且|

m

+

n

|=

8 2

5

，則cos（

θ

2

+

π

8

）的值是（　　）

• A、-

  4

  5

• B、-

  3

  5

• C、

  4

  5

• D、

  3

  5

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：首先求出

m

+

n

的坐標(biāo)，然后表示其模，并化簡(jiǎn)，得到最簡(jiǎn)形式，與所求聯(lián)系，利用倍角公式求值．

解答： 解：由已知向量

m

=（cosθ，sinθ）和

n

=（

2

-sinθ，cosθ），θ=（π，2π），|

m

+

n

|=

8 2

5

，
則

m

+

n

=（cosθ-sinθ+

2

，sinθ+cosθ），
所以|

m

+

n

|2=（cosθ-sinθ+

2

）²+（sinθ+cosθ）²=

128

25

，
整理得cosθ-sinθ=

7 2

25

，即cos（θ+

π

4

）=

7

25

，所以2cos²（

θ

2

+

π

8

）-1=

7

25

，解得cos（

θ

2

+

π

8

）=±

4

5

，
又θ=（π，2π），所以（

θ

2

+

π

8

）∈（

5π

8

，

7π

8

），所以cos（

θ

2

+

π

8

）＜0，
所以cos（

θ

2

+

π

8

）=-

4

5

；
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的加法的坐標(biāo)運(yùn)算、向量模的計(jì)算以及三角函數(shù)基本關(guān)系式、倍角公式和兩角和與差的三角函數(shù)公式的運(yùn)用化簡(jiǎn)求值，注意符號(hào)．