Question

某海海岸線可以近似的看成直線，位于岸邊A處 的海警發現海中B處有人求救，該海警沒有直接從A處游向B處，而是沿岸邊自A跑到距離B最近的D處，然后游向B處，若海警在岸邊的行進速度是6米/秒，在海中的行進速度是2米/秒，（不考慮水流速度等因素）
（Ⅰ）請問該海警的選擇是否正確？并說明原因
（Ⅱ）在AD上找一點C，使海警從A到B的時間最短，并求出最短時間．

Answer 1

考點：解三角形的實際應用

專題：應用題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）分別求出救生員在兩種情況下所用時間，通過比較兩種情況所用的時間即可得到答案；
（Ⅱ）設出C點到D點的距離，列出救生員從A點到B點所用的總時間，然后通過求導得到當C點到D點距離為多少時能使所用時間最短，同時求出了所用時間的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由圖可知，A到B的距離為300

2

米．
從A處游向B處的時間t₁=

300 2

2

=150

2

s，
而沿岸邊自A跑到距離B最近的D處，然后游向B處的時間t2=

300

6

+

300

2

=200s．
而150

2

＞200，所以救生員的選擇是正確的；
（Ⅱ）設CD=x，則AC=300-x，BC=

3002+x2

，
救生員從A經C到B的時間t=

300-x

6

+

3002+x2

2

，0≤x≤300，
t′=-

1

6

+

x

2 90000+x2

，
令t′=0，解得：x=75

2

，
又當0＜x＜75

2

時，t′＜0；
當75

2

＜x＜300時，t′＞0．
所以當x=75

2

時，函數t有極小值，也就是最小值．最小值為50+100

2

（s）．
答：救生員自A點跑到距D點75

2

米處，然后下海直線游到B處所用時間最短為50+100

2

秒．

點評：本題考查了函數模型的選擇及應用，訓練了導數在最大值最小值中的應用，實際問題在建模時一定要注意應有實際意義，此題是中檔題．