Question

在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓的焦點為（-

3

，0）（

3

，0），離心率為

3

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）若圓M：x²+（y-m）²=1上的點到橢圓上的點的最遠距離為

5

+1，求m的值；
（3）過坐標原點作斜率為k的直線l交橢圓于P、Q兩點，點N為橢圓上任意一點（異于點P，Q），設直線NP，NQ的斜率均存在且分別記為k_Np，k_NQ．證明：對任意k，恒有k_NPk_NQ=-

1

4

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意得

c= 3 e= c a = 3 2 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓方程．
（2）原題轉化為求MT取最大值實數m的求解，設T（x，y），則MT²=x²+（y-m）²=-3y²-2my+m²+4（-1≤y≤1），由此利用分類討論思想能求出m的值．
（3）由已知得k_NP•k_NQ=

y1-y0

x1-x0

•

y1+y0

x1+x2

=

y12-y02

x12-x02

，由此能證明對任意k，恒有k_NPk_NQ=-

1

4

．

解答： （1）解：由題意得

c= 3 e= c a = 3 2 a2=b2+c2

，
解得a=2，b=1，
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1．
（2）解：設圓M上任取一點S，橢圓上任取一點T，則ST≤MT+MS=MT+1，
故轉化為求圓心M到橢圓上點T的距離的最大值，即MT的最大值，
設T（x，y），則MT²=x²+（y-m）²，
又∵點T在橢圓上，∴

x2

4

+y2=1，
∴MT²=x²+（y-m）²=-3y²-2my+m²+4（-1≤y≤1），
當-

m

3

≤1，即m≥3，此時y=-1，
MT²取到最大值為m²+2m+1，
∴（m+1）²=5，解得m=-1±

5

∉[3，+∞），舍去，
當-

m

3

≥1，即m≤-3時，此時y=1，MT²取到最大值為m²-2m+1，
∴（m-1）²=5，解得m=1±

5

∉（-∞，-3]，舍去，
當-1＜-

m

3

＜1，即-3＜m＜3時，y=-

m

3

，
MT²取到最大值為

4

3

m2+4，
∴

4

3

m2+4=5，解得m=±

3

2

∈(-3，3)，符合題意，
∴m的值為±

3

2

．
（3）證明：根據題意知P，Q關于原點對稱，
∴kNP=

y1-y0

x1-x0

，kNQ=

y1+y0

x1+x0

，
∴k_NP•k_NQ=

y1-y0

x1-x0

•

y1+y0

x1+x2

=

y12-y02

x12-x02

，
又點P，N在橢圓上，
∴

x02 4 +y02=1 x12 4 +y12=1

，
兩式相減，得

y12-y02

x12-x02

=-

1

4

，
∴對任意k，恒有k_NPk_NQ=-

1

4

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實數值的求法，考查直線的斜率之積為定值的證明，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．