Question

已知定點A（0，a）（a＞0），直線l₁：y=-a交y軸于點B，記過點A且與直線l₁相切的圓的圓心為點C．
（1）求動點C的軌跡E的方程；
（2）設傾斜角為α的直線l₂過點A，交軌跡E于兩點P、Q．若tanα=1，且△PBQ的面積為

2

，求a的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知可得，點C的軌跡是以A為焦點，l₁為準線的拋物線，由此能求出軌跡E的方程．
（2）直線l₂的方程為y=x+a，與拋物線方程聯立消去y得，x²-4ax-4a²=0．由此利用韋達定理、弦長公式，結合已知條件能求出結果．

解答： 解：（1）由已知可得，點C的軌跡是以A為焦點，l₁為準線的拋物線，
∴軌跡E的方程為x²=4ay（a＞0）．…（4分）
（2）直線l₂的方程為y=x+a，
與拋物線方程聯立消去y得，x²-4ax-4a²=0．
記P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x1+x2=4a，x1x2=-4a2．…（6分）
∴S_△PBQ=S_△PAB+S_△QAB
=a|x₁|+a|x₂|=a|x₂-x₁|
=a

(x_+x2)2-4x1x2

=a

16a2+16a2

=4

2

a2=

2

．…（10分）
注意到a＞0，∴a=

1

2

．…（12分）

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查直線與圓錐曲線的綜合應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、弦長公式的合理運用．