Question

某玩具廠所需成本為P元，且P與生產套數x的關系為P=1000+5x+

1

10

x²，而每套售出的價格為Q元，其中Q（x）=a+

x

b

（a，b∈R）．
（1）該玩具廠生產多少套玩具時每套所需成本最少？
（2）若生產出的玩具能全部售出，且當產量為150套時利潤最大，此時每套價格為30元，求常數a，b的值．（利潤=銷售收入-成本）

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）建立函數的解析式，再利用基本不等式求函數的最值；
（2）根據利潤=銷售收入-成本，求出利潤函數，再利用當產量為150套時利潤最大，此時每套價格為30元，結合二次函數的性質建立條件關系，即可求a，b的值

解答： 解：（1）由題意，每套玩具所需成本費用為

P

x

=

1000+5x+ 1 10 x2

x

=

x

10

+

1000

x

+5≥2

x 10 • 1000 x

+5=2

100

+5=25，
當且僅當

x

10

=

1000

x

，
即x=100時，每套玩具所需成本費用最少為25元．
（2）利潤y=xQ（x）-P=x（a+

x

b

）-（1000+5x+

1

10

x²）=（

1

b

-

1

10

）x²+（a-5）x-1000，
∵若生產出的玩具能全部售出，且當產量為150套時利潤最大，此時每套價格為30元，
∴滿足

5-a 2( 1 b - 1 10 ) =150 a+ 150 b =30

，
解得a=25，b=30．

點評：本題考查函數模型的構建，考查利用基本不等式求函數的最值，考查二次函數的最值，確立函數模型是關鍵．