Question

已知函數f（x）=x²+2x-3
（1）求函數y=f（|x|）的值域并寫出單調區間；
（2）討論函數y=|f（x）|與y=m+1交點的個數．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）結合一元二次函數的圖象和性質即可求函數y=f（|x|）的值域并寫出單調區間；
（2）作出兩個函數的圖象即可討論函數y=|f（x）|與y=m+1交點的個數．

解答： 解：（1）當x≥0時，f（|x|）=f（x）=x²+2x-3=（x+1）²-4
函數的對稱軸方程為x=-1，故函數在[0，+∞）上為增函數    （2分），
∴f（|x|）≥f（0）=-3，
∵f（|-x|）=f（|x|），
∴y=f（|x|）為偶函數
函數f（|x|）的值域為[-3，+∞）（4分）
函數f（|x|）在（-∞，0]單調遞減，在[0，+∞）上為增函數   如圖（1）（6分）
（2）分別畫出函數y=f（|x|），y=m+1圖象，由圖象觀察可得圖（2）
當m＜-1時，它們無交點，故交點個數為0個；             （8分）
當m=-1或m＞3時，它們有兩個交點，故交點個數為2個；  （10分）
當-1＜m＜3時，它們有四個交點，故交點個數為4個    （12分）
當m=3時它們有三個交點，故交點個數為3            （14分）

點評：本題主要考查二次函數的圖象和性質，利用數形結合是解決本題的關鍵．