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20.已知f(x)=|x|+$\frac{m}{x}$-2(x≠0).
(1)當m=2時,判斷f(x)在(-∞,0)的單調性,并用定義證明;
(2)若f(2x)>0對x∈R恒成立,求m的取值范圍;
(3)討論f(x)零點的個數.

分析 (1)當m=2,且x<0時,$f(x)=-x+\frac{2}{x}-2$為減函數.運用單調性的定義證明,分取值、作差、變形和定符號、下結論;
(2)由題意可得(2x2-2•2x+m>0,即m>2•2x-(2x2,運用配方法求出右邊的最大值,可得m的范圍;
(3)由f(x)=0可得x|x|-2x+m=0(x≠0),變為m=-x|x|+2x(x≠0),令g(x)=-x|x|+2x(x≠0),作出y=g(x)和y=m的圖象,平移即可得到所求零點個數.

解答 解:(1)當m=2,且x<0時,$f(x)=-x+\frac{2}{x}-2$為減函數…(1分)
證明:設x1<x2<0,則$f({x_1})-f({x_2})=-{x_1}+\frac{2}{x_1}-2-(-{x_2}+\frac{2}{x_2}-2)$
=$({x_2}-{x_1})+(\frac{2}{x_1}-\frac{2}{x_2})$=$({x_2}-{x_1})+\frac{{2({x_2}-{x_1})}}{{{x_1}{x_2}}}$…(2分)
=$({x_2}-{x_1})(1+\frac{2}{{{x_1}{x_2}}})$…(3分)
又x1<x2<0,所以x2-x1>0,x1x2>0,所以$({x_2}-{x_1})(1+\frac{2}{{{x_1}{x_2}}})>0$,
所以f(x1)-f(x2)>0,所以f(x1)>f(x2),
故當m=2,且x<0時,$f(x)=-x+\frac{2}{x}-2$為減函數…(4分)
(2)由f(2x)>0得$|{2^x}|+\frac{m}{2^x}-2>0$,變形為(2x2-2•2x+m>0…(5分)
即m>2•2x-(2x2…(6分)
而2•2x-(2x2=-(2x-1)2+1,當2x=1即x=0時(2•2x-(2x2max=1…(7分)
所以m>1…(8分)
(3)由f(x)=0可得x|x|-2x+m=0(x≠0),
變為m=-x|x|+2x(x≠0)
令$g(x)=2x-x|x|=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2x,x>0\\{x^2}+2x,x<0\end{array}\right.$…(10分
作y=g(x)的圖象及直線y=m,由圖象可得:
當m>1或m<-1時,f(x)有1個零點;
當m=1或m=0或m=-1時,f(x)有2個零點;
當0<m<1或-1<m<0時,f(x)有3個零點…(12分)

點評 本題考查函數的單調性的判斷和證明,注意運用定義法,考查不等式恒成立問題的解法,注意運用參數分離法,同時考查函數的零點個數問題,注意運用數形結合思想方法,考查化簡運算作圖能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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