Question

3．如圖，已知圓C：x²+y²-4x-14y+45=0及點Q（-2，3）
（1）若點P（m，m+1）在圓C上，求直線PQ的斜率以及直線PQ與圓C的相交弦PE的長度；
（2）若N（x，y）是直線x+y+1=0上任意一點，過N作圓C的切線，切點為A，當切線長|NA|最小時，求N點的坐標，并求出這個最小值．
（3）若M（x，y）是圓上任意一點，求$\frac{y-3}{x+2}$的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）通過點P（m，m+1）在圓C上，求出m=4，推出P的坐標，求出直線PQ的斜率，得到直線PQ的方程，利用圓心（2，7）到直線的距離d，求解即可．
（2）判斷當NC最小時，NA最小，結合當NC⊥l時，NC最小，求出|NC|的最小值，然后求解直線方程．
（3）利用k_MQ=$\frac{y-3}{x+2}$，題目所求即為直線MQ的斜率k的最值，且當直線MQ為圓的切線時，斜率取最值．設直線MQ的方程為y-3=k（x+2），利用圓心到直線的距離求解即可．

解答 解：（1）∵點P（m，m+1）在圓C上，代入圓C的方程，解得m=4，∴P（4，5）
故直線PQ的斜率k=$\frac{5-3}{4-（-2）}$=$\frac{1}{3}$．因此直線PQ的方程為y-5=$\frac{1}{3}$（x-4）．
即x-3y+11=0，而圓心（2，7）到直線的距離d=$\frac{|2-3×7+11|}{\sqrt{10}}$=$\frac{8}{\sqrt{10}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
所以PE=2$\sqrt{{r}^{2}-p9vv5xb5^{2}}$=$2\sqrt{8-（\frac{4\sqrt{10}}{5}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{40}}{5}$=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．…（4分）
（2）∵$|{NA}|=\sqrt{N{C^2}-{r^2}}=\sqrt{N{C^2}-8}$
∴當NC最小時，NA最小又知當NC⊥l時，NC最小，
∴$|{NC}|=d=2\sqrt{5}$…（6分）
⇒過C且與直線x+y+1=0垂直的直線方程：x-y+5=0，
∴N（-3，2）…（8分）
（3）∵k_MQ=$\frac{y-3}{x+2}$，
∴題目所求即為直線MQ的斜率k的最值，且當直線MQ為圓的切線時，斜率取最值．
設直線MQ的方程為y-3=k（x+2），即kx-y+2k+3=0．
當直線與圓相切時，圓心到直線的距離d=$\frac{|2k-7+2k+3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=r=2 $\sqrt{2}$．
兩邊平方，即（4k-4）²=8（1+k²），解得k=2-$\sqrt{3}$，或k=2+$\sqrt{3}$．
所以$\frac{y-3}{x+2}$的最大值和最小值分別為2+$\sqrt{3}$和2-$\sqrt{3}$．…（12分）

點評 本題考查直線與圓的位置關系的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力．