Question

15．要做一個圓錐形漏斗，其母線長為15cm，要使其體積最大，則其高應為（　　）

• A． $10\sqrt{3}cm$
• B． $8\sqrt{3}cm$
• C． $6\sqrt{3}cm$
• D． $5\sqrt{3}cm$

Answer 1

分析 求出棱錐的體積關于高h的函數，判斷函數的單調性求出極大值點即可．

解答 解：設圓錐漏斗的高為h，則底面半徑r=$\sqrt{225-{h}^{2}}$，0＜h＜15，
∴漏斗的體積V=$\frac{1}{3}π{r}^{2}$h=$\frac{1}{3}π$（225-h²）h，
令f（h）=（225-h²）h=-h³+225h，
∴f′（h）=-3h²+225，令f′（h）=0得h=5$\sqrt{3}$，
∴當0＜h$＜5\sqrt{3}$時，f′（h）＞0，當5$\sqrt{3}$＜h＜15時，f′（h）＜0，
∴f（h）在（0，5$\sqrt{3}$）上單調遞增，在（5$\sqrt{3}$，15）上單調遞減，
∴當h=5$\sqrt{3}$時，f（h）取得最大值，即體積V取得最大值．
故選D．

點評 本題考查了圓錐的體積計算，函數單調性與極值計算，屬于中檔題．