Question

20．設函數f（x）=alnx+$\frac{{2{a^2}}}{x}$（a≠0），g（x）=3-x．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當a=1時，設F（x）=f（x）-g（x），求證：對于定義域內的任意一個，都有F（x）≥0．
（3）討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，計算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可；
（2）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而證明結論；
（3）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可．

解答 解：（1）∵a=1時，f（x）=lnx+$\frac{2}{x}$（a≠0），
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$，
∴f（1）=2，f′（1）=-1，
故切線方程是：y-2=-（x-1），
整理得：x+y-3=0；
（2）由（1）知，f（x）=lnx+$\frac{2}{x}$，
F（x）=f（x）-g（x），則f（x）=lnx+$\frac{2}{x}$+x-3，
∴F′（x）=$\frac{（x-1）（x+2）}{{x}^{2}}$，x＞0，
當x變化時，g′（x），g（x）的變化如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
F′（x）	-	0	+
F（x）	↓	極小值	↑

∴x=1是F（x）在（0，+∞）上的唯一極值點，且是極小值點，
從而也是F（x）的最小值點，
∴F（x）≥F（1）=ln1+2+1-3=0，
∴F（x）≥0．
（3）f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{{2a}^{2}}{{x}^{2}}$=$\frac{a（x-2a）}{{x}^{2}}$，
①當a＜0時，∵x＞0，∴x-2a＞0，a（x-2a）＜0，
∴f′（x）＜0，故函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
②當a＞0時，若0＜x＜2a，則a（x-2a）＜0，f′（x）＜0，
函數f（x）在（0，2a）上單調遞減；
若x＞2a，則a（x-2a）＞0，f′（x）＞0，函數在（2a，+∞）上單調遞增．
綜上所述，當a＜0時，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減；
當a＞0時，函數f（x）在（0，2a）上單調遞減，在（2a，+∞）上單調遞增．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．