Question

13．設隨機變量X服從[0，0.2]上的均勻分布，隨機變量Y的概率密度為f_Y（y）=$\left\{\begin{array}{l}{5{e}^{-5y}，y≥0}\\{0，其他}\end{array}\right.$，且X與Y相互獨立．
求：（1）X的概率密度；
（2）（X，Y）的概率密度．

Answer 1

分析 （1）根據隨機變量X服從[0，0.2]上的均勻分布，寫出X的概率密度函數f_X（x）；
（2）由隨機變量X、Y的概率密度函數，且X與Y相互獨立，寫出二維隨機變量（X，Y）的概率密度函數f（X，Y）=f_X（x）•f_Y（y）．

解答 解：（1）隨機變量X服從[0，0.2]上的均勻分布，
則X的概率密度為
f_X（x）=$\left\{\begin{array}{l}{5，0＜x＜0.2}\\{0，其它}\end{array}\right.$；
（2）由隨機變量Y的概率密度為
f_Y（y）=$\left\{\begin{array}{l}{5{e}^{-5y}，y≥0}\\{0，其他}\end{array}\right.$，且X與Y相互獨立；
則二維隨機變量（X，Y）的概率密度為
f（X，Y）=f_X（x）•f_Y（y）
=$\left\{\begin{array}{l}{2{5e}^{-5y}，0＜x＜0.2，y≥0}\\{0，其它}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了二維變量的概率密度函數的定義與應用問題，是中檔題．