Question

18．已知函數f（x）=$\frac{a+lnx}{x-1}$（x＞1）
（1）當a=1時，求函數f（x）的單調遞減區間；
（2）當a=0時，判斷函數f（x）的單調性；
（3）當x＞1時，證明：$\frac{lnx}{x-1}$＞$\frac{ln（{e}^{x}-1）}{{e}^{x}-2}$（e為自然對數的底數）

Answer 1

分析 （1）把a=1代入函數解析式，求出導函數，由導函數小于0在（1，+∞）上恒成立，可得函數f（x）的單調遞減區間為（1，+∞）；
（2）把a=0代入函數解析式，求出導函數f′（x）=$\frac{x-xlnx-1}{x（x-1）^{2}}$，再由導數可得h（x）=x-xlnx-1＜0在（1，+∞）上恒成立，可得函數f（x）在（1，+∞）上單調遞減；
（3）把要證的不等式化為$\frac{lnx}{x-1}$＞$\frac{ln（{e}^{x}-1）}{{x}^{x}-1-1}$．令r（x）=$\frac{lnx}{x-1}$，即證r（x）＞r（e^x-1）．由（2）知r（x）在（1，+∞）上單調遞減，轉化為證x＜e^x-1．構造函數
令s（x）=x-e^x+1，再由導數證明s（x）＜0在（1，+∞）上成立得答案．

解答 （1）解：當a=1時，f（x）=$\frac{1+lnx}{x-1}$，f′（x）=$\frac{1-\frac{1}{x}-1-lnx}{（x-1）^{2}}$=$\frac{-\frac{1}{x}-lnx}{（x-1）^{2}}$（x＞1）．
∵當x＞1時，$-\frac{1}{x}-lnx$＜0，∴f′（x）＜0，
故函數f（x）的單調遞減區間為（1，+∞）；
（2）當a=0時，f（x）=$\frac{lnx}{x-1}$，f′（x）=$\frac{1-\frac{1}{x}-lnx}{（x-1）^{2}}$=$\frac{x-xlnx-1}{x（x-1）^{2}}$（x＞1）．
令h（x）=x-xlnx-1，h′（x）=1-lnx-1=-lnx＜0，
∴h（x）在（1，+∞）上單調遞減，又h（1）=0，
∴h（x）＜0，即f′（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，
故函數f（x）在（1，+∞）上單調遞減；
（3）證明：要證$\frac{lnx}{x-1}$＞$\frac{ln（{e}^{x}-1）}{{e}^{x}-2}$，即證$\frac{lnx}{x-1}$＞$\frac{ln（{e}^{x}-1）}{{x}^{x}-1-1}$．
令r（x）=$\frac{lnx}{x-1}$，即證r（x）＞r（e^x-1）．
由（2）知，r（x）在（1，+∞）上單調遞減，
又x＞1，e^x-1＞1，
需證x＜e^x-1．
令s（x）=x-e^x+1，則s′（x）=1-e^x＜0，
s（x）在（1，+∞）上單調遞減，∴s（x）＜s（1）=-e＜0，
即x＜e^x-1．
故$\frac{lnx}{x-1}$＞$\frac{ln（{e}^{x}-1）}{{e}^{x}-2}$．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，考查數學轉化思想方法和函數構造法，訓練了分析法證明函數不等式，是中檔題．