Question

10．在平面直角坐標系xoy中，曲線C₁的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數），以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，得曲線C₂的極坐標方程為ρ+6sinθ-8cosθ=0（ρ≥0）
（Ⅰ）求曲線C₁的普通方程和曲線C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）直線l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-\frac{3}{2}+λ\;t}\end{array}}\right.$（t為參數）過曲線C₁與y軸負半軸的交點，求與直線l平行且與曲線C₂相切的直線方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲線C₁的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數），利用平方關系可得：曲線C₁的普通方程．由ρ+6sinθ-8cosθ=0得ρ²+6ρsinθ-8ρcosθ=0，利用互化公式可得：曲線C₂的直角坐標方程．
（Ⅱ）曲線C₁：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$與y軸負半軸的交點坐標為（0，-3），代入直線l的參數方程為：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-\frac{3}{2}+λ\;t}\end{array}}\right.$，解得λ．可得直線l的參數方程為：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-\frac{3}{2}+\frac{3}{4}\;t}\end{array}}\right.$，消去參數可得直線l的普通方程為：3x-4y-12=0，設與直線l平行且與曲線C₂相切的直線方程為：3x-4y+k=0，利用直線與圓相切的性質即可得出k．

解答 解：（Ⅰ）由曲線C₁的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數），
利用平方關系可得：曲線C₁的普通方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
由ρ+6sinθ-8cosθ=0得ρ²+6ρsinθ-8ρcosθ=0，
∴曲線C₂的直角坐標方程為：x²+y²-8x+6y=0．
（或：曲線C₂的直角坐標方程為：（x-4）²+（y+3）=25）
（Ⅱ）曲線C₁：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$與y軸負半軸的交點坐標為（0，-3），
又直線l的參數方程為：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-\frac{3}{2}+λ\;t}\end{array}}\right.$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{0=2+t}\\{-3=-\frac{3}{2}+λ\;t}\end{array}}\right.$，得$λ=\frac{3}{4}$，
即直線l的參數方程為：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-\frac{3}{2}+\frac{3}{4}\;t}\end{array}}\right.$得直線l的普通方程為：3x-4y-12=0，
設與直線l平行且與曲線C₂相切的直線方程為：3x-4y+k=0．
∵曲線C₂是圓心為（4，-3），半徑為5的圓，得$\frac{{|{12+12+k}|}}{5}=5$，解得k=1或k=-49．
故所求切線方程為：3x-4y+1=0或3x-4y-49=0．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數方程化為普通方程、點到直線的距離公式、直線與圓的位置關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．