Question

20．定義在R上的函數f（x）滿足：①f（-x）=-f（x）；②f（2x）=af（x）（a＞0）；③當2≤x≤4時，$f（x）=|sin\frac{π}{2}x|$，若分別以函數f（x）的極值點和相應極值為橫、縱坐標的點都在一條直線上，則a的值為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 1或2
• D． 2或3

Answer 1

分析 當1≤x≤2時，對應的點A₁（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{a}$）；當2≤x≤4時，對應的點A₂（3，1）；當4≤x≤8時，對應的點A₃（6，a），由三點共線，由斜率相等得a的值為1或2；
經檢驗，即可得a的取值

解答 解：當1≤x≤2時，2≤2x≤4，∴f（x）=$\frac{1}{a}f（2x）$=|$\frac{1}{a}sin（\frac{π}{2}•2x）$|=$\frac{1}{a}$|sinπx|，極值為f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{1}{a}$，對應的點A₁（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{a}$）；
當2≤x≤4時，$f（x）=|sin\frac{π}{2}x|$，極值為f（3）=1，對應的點A₂（3，1）；
當4≤x≤8時，f（x）=a|f（$\frac{x}{2}$）|=a|sin$\frac{π}{4}x$|，極值為f（6）=a，對應的點A₃（6，a）；
…由此可得A_n（3•2^n-2，a^n-2）
∵分別以函數f（x）的極值點和相應極值為橫、縱坐標的點都在一條直線上，∴A₁，A₂，A₃三點共線，由斜率相等得a的值為1或2；
經檢驗，當a=1時，直線方程為y=1，由函數f（x）滿足f（-x）=-f（x），即為奇函數，故舍去；當a=2時，直線為y=$\frac{1}{3}x$，符合題意．
故選：B．

點評 本題考查了函數的圖象、性質，考查了數形結合思想、轉化思想，屬于中檔題．