Question

18．若三棱錐P-ABC的三個側面與底面ABC所成角都相等，則頂點P在底面的射影為△ABC的（　　）

• A． 外心
• B． 重心
• C． 內心
• D． 垂心

Answer 1

分析 作出三個二面角，利用三角形全等得出O到△ABC的三邊距離相等，得出結論．

解答 解：設P在底面ABC的射影為O，過O向△ABC的三邊作垂線OD，OE，OF，
連結PD，PE，PF，
∵PO⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴PO⊥AB，又OD⊥AB，OD∩OP=O，
∴AB⊥平面OPD，∴AB⊥PD，
∴∠PDO為側面PAB與平面ABC的二面角，
同理∠PEO，∠PFO為其余兩側面與底面ABC的二面角，
∴∠PDO=∠PEO=∠PFO，
又PO⊥OD，PO⊥OE，PO⊥OF，PO為公共邊，
∴Rt△POD≌Rt△POE≌Rt△POF，
∴OD=OE=OF，
∴O是△ABC的內心．
故選C．

點評 本題考查了棱錐的結構特征，線面垂直的判定，二面角的做法，屬于中檔題．