Question

13．函數y=cosx•sin2x的最小值為m，函數y=$\frac{tanx}{{2-2{{tan}^2}x}}$的最小正周期為n，則m+n的值為（　　）

• A． $\frac{π}{2}-\frac{{4\sqrt{3}}}{9}$
• B． $π-\frac{{4\sqrt{3}}}{9}$
• C． $\frac{π}{2}+\frac{{4\sqrt{3}}}{9}$
• D． $π+\frac{{4\sqrt{3}}}{9}$

Answer 1

分析 首先利用倍角公式展開，化余弦為正弦，然后換元，再利用導數求得最小值m，利用二倍角的正切函數公式及正切函數的周期性求得n的值，即可得解．

解答 解：y=cosx•sin2x=2sinx•cos²x=2sinx（1-sin²x）=-2sin³x+2sinx．
令t=sinx（-1≤t≤1）．
∴原函數化為g（t）=-2t³+2t（-1≤t≤1）．
g′（t）=-6t²+2=-2（3t²-1），
∴當t∈[-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]時，g′（t）＜0，
當t∈（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）時，g′（t）＞0，
∴g（t）在[-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]上為減函數，在（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）上為增函數，
∵g（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$，g（1）=0．
∴g（t）的最小值為-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$，即y=cosx•sin2x的最小值為-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$，
又∵函數y=$\frac{tanx}{{2-2{{tan}^2}x}}$=$\frac{1}{4}$tan2x的最小正周期為n，
∴n=$\frac{π}{2}$，
∴m+n=$\frac{π}{2}$-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$．
故選：A．

點評 本題考查三角函數的最值，導數的應用，正切函數的周期性，正確換元是解答該題的關鍵，訓練了利用導數求解函數的最值，屬中檔題．